Question

4．在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，点E在棱AC上，且BE⊥AC．
（1）试证明：BE⊥面ACD；
（2）若AB=BC=CD=2，过直线BE任作一个平面与直线AD相交于点P，得到三棱锥A-BCD的一个截面△BEP，求△BEP面积的最小值；
（3）若AB=BC=CD=2，求二面角B-AD-C的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由线面垂直得AB⊥CD，从而CD⊥平面ABC，进而CD⊥BE，由此能证明BE⊥面ACD．
（2）当EP⊥AD时，△BEP面积最小，以B为原点，过B在平面BCD内作BD有垂线为x轴，BD为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出△BEP面积的最小值．
（3）分别求出平面ADC的法向量和平面ABD的法向量，利用向量法能求出二面角B-AD-C的正弦值．

解答 （1）证明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD，
又∵BC⊥CD，AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC，
∵BE?平面ABC，∴CD⊥BE，
∵BE⊥AC，CD∩AC=C，
∴BE⊥面ACD．
（2）解：当EP⊥AD时，△BEP面积最小，此时设$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AD}$，0≤λ≤1，P（a，b，c），
以B为原点，过B在平面BCD内作BD有垂线为x轴，BD为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB=BC=CD=2，∴A（0，0，2），C（2，2$\sqrt{2}$，0），E（1，$\sqrt{2}$，1），D（0，2$\sqrt{2}$，0），
$\overrightarrow{AP}$=（a，b，c-2），$\overrightarrow{AD}$=（0，2$\sqrt{2}$，-2），∴P（0，2$\sqrt{2}λ$，2-2λ），$\overrightarrow{EP}$=（-1，2$\sqrt{2}λ-\sqrt{2}$，1-2λ），
∵EP⊥AD，∴$\overrightarrow{EP}•\overrightarrow{AD}$=2$\sqrt{2}$（$2\sqrt{2}λ-\sqrt{2}$）-2（1-2λ）=0，
解得$λ=\frac{1}{2}$，∴P（0，$\sqrt{2}$，1），$\overrightarrow{BP}=（0，\sqrt{2}，1）$，$\overrightarrow{EP}$=（-1，0，0），
∴$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{EP}$=0，|$\overrightarrow{BP}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{EP}$|=1，
∴S_△BEP=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△BEP面积的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（3）$\overrightarrow{AD}$=（0，2$\sqrt{2}$，-2），$\overrightarrow{AC}$=（2，2$\sqrt{2}$，-2），
设平面ADC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=2\sqrt{2}y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2x+2\sqrt{2}y-2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，$\sqrt{2}$），
又平面ABD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设二面角B-AD-C的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=0，
∴sinθ=1，∴二面角B-AD-C的正弦值为1．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三角形面积的最小值的求法，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．