Question

1．设F₁，F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF₁|的最大值为15，最小值为$\sqrt{97}$．

Answer 1

分析 通过连结PF₂、|MF₂|，利用椭圆定义可知|PF₁|+|PF₂|=10，通过两点间距离公式计算可知|MF₂|=5，利用|PM|≥|PF₂|-|MF₂|、|PM|≤|PF₂|+|MF₂|，计算即得结论．

解答 解：将M的坐标代入椭圆方程可得$\frac{36}{25}$+1＞1，即M在椭圆外，
连结PF₂、MF₂，椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的a=5，b=4，c=3，
F₁（-3，0），F₂（3，0），
由椭圆的定义可得，|PF₁|+|PF₂|=2a=10，
|MF₂|=$\sqrt{（6-3）^{2}+（4-0）^{2}}$=5，
由|PM|+|PF₁|≥|MF₁|=$\sqrt{（6+3）^{2}+（4-0）^{2}}$=$\sqrt{97}$，
∵|PM|≤|PF₂|+|MF₂|，
∴|PM|+|PF₁|≤|PF₂|+|MF₂|+|PF₁|≥10+5=15，
∴|PM|+|PF₁|的最大值和最小值分别为15和$\sqrt{97}$
故答案为：15，$\sqrt{97}$．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和简单性质，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．