Question

某公司以每吨10万元的价格销售某种化工产品，每年可售出该产品1000吨，若将该产品每吨的价格上涨x%，则每年的销售数量将减少mx%，其中m为正常数．
（1）当m=

1

2

时，该产品每吨的价格上涨百分之几，可使销售的总金额最大？
（2）如果存在一次涨价，能使销售总金额增加，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题设，当价格上涨x%时，销售总金额：y=10（1+x%）•1000（1-mx%）=-mx2+100(1-m)x+10000(0＜x＜

100

m

)．由此能求出该吨产品每吨的价格上涨50%时，销售总金额最大．
（2）由y=-mx2+100(1-m)x+10000，(0＜x＜

100

m

)，知如果存在一次涨价，能使销售总金额增加，则存在0＜x＜

100

m

使y＞10×1000，由此能求出m的取值范围．

解答：解：（1）由题设，当价格上涨x%时，销售总金额：
y=10（1+x%）•1000（1-mx%）=-mx2+100(1-m)x+10000(0＜x＜

100

m

)．
当m=

1

2

时，y=

1

2

[-(x-50)2+22500]，
当x=50时，y_max=11250．即该吨产品每吨的价格上涨50%时，销售总金额最大．
（2）由（1）y=-mx2+100(1-m)x+10000，(0＜x＜

100

m

)；
如果存在一次涨价，能使销售总金额增加，则存在0＜x＜

100

m

使y＞10×1000，
-mx²+100（1-m）x+10000＞10000，
∴-mx+100（1-m）＞0，注意到m＞0，
∴x＜

100(1-m)

m

，
∵

100(1-m)

m

＜

100

m

，
∴

100(1-m)

m

＞0，解得0＜m＜1．

点评：本题考查函数在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．