Question

（1）已知数列{a_n}的前几项和为sn=

3

2

(an-1)(n∈N*)
①求数列的通项公式；
②求数列{a_n}的前n项和．
（2）已知

OA

=

a

，

OB

=

b

，且|

a

|=|

b

|=4，∠AOB=60°，
①求|

a

+

b

|，|

a

-

b

|； 
②求（

a

+

b

）与

a

的夹角．

Answer 1

分析：（1）①依题意，可证数列{a_n}是以3为首项，3为公比的等比数列，从而可求数列的通项公式；
②由①知a_n=3ⁿ，利用等比数列的求和公式即可求得数列{a_n}的前n项和．
（2）①利用向量的积与模的运算，可先求得|

a

+

b

|2与|

a

-

b

|2，再分别开方即得|

a

+

b

|，|

a

-

b

|；
②设（

a

+

b

）与

a

的夹角为θ，利用向量的数量积的定义与向量的分配律即可求得cosθ的值，从而可得θ，即（

a

+

b

）与

a

的夹角．

解答：解：（1）①∵s_n=

3

2

（a_n-1）（n∈N^*），①′
∴当n=1时，a₁=

3

2

（a₁-1），
∴a₁=3；
又s_n+1=

3

2

（a_n+1-1），②′
∴②′-①′得：a_n+1=

3

2

（a_n+1-a_n），
∴

an+1

an

=3，
∴数列{a_n}是以3为首项，3为公比的等比数列，
∴a_n=3ⁿ；
②设数列{a_n}的前n项和为T_n，
则T_n=a₁+a₂+…+a_n=3+3²+…+3ⁿ=

3(1-3n)

1-3

=

3n+1-3

2

；
（2）①∵

OA

=

a

，

OB

=

b

，且|

a

|=|

b

|=4，∠AOB=60°，
∴

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cos∠AOB=4×4×

1

2

=8，
∴|

a

+

b

|2=

a

2+2

a

•

b

+

b

2=16+2×8+16=48，
|

a

-

b

|2=

a

2-2

a

•

b

+

b

2=16-2×8+16=16，
∴|

a

+

b

|=4

3

，|

a

-

b

|=4； 
②设（

a

+

b

）与

a

的夹角为θ，
则（

a

+

b

）•

a

=|

a

|2+

a

•

b

=16+8=24，
又（

a

+

b

）•

a

=|

a

+

b

|•|

a

|cosθ=4

3

×4cosθ=16

3

cosθ，
∴16

3

cosθ=24，
∴cosθ=

3

2 3

=

3

2

，又θ∈[0，

π

2

]，
∴θ=

π

6

，即（

a

+

b

）与

a

的夹角为

π

6

．

点评：本题考查数列的求和，考查向量的数量积与模的运算，突出考查等比数列关系的确定，考查向量的数量积、向量的夹角、向量模的综合应用，属于中档题．