Question

12．如图1，在△ABC中，$|\overrightarrow{AB}|=2$，$|\overrightarrow{AC}|=1$，点D是BC的中点．
（ I）求证：$\overrightarrow{AD}=\frac{{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}}{2}$；
（ II）直线l过点D且垂直于BC，E为l上任意一点，求证：$\overrightarrow{AE}•（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$为常数，并求该常数；
（ III）如图2，若$cos=\frac{3}{4}$，F为线段AD上的任意一点，求$\overrightarrow{AF}•（\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}）$的范围．

Answer 1

分析 （ I）延长AD到A₁使得AD=DA₁，连接CA₁，A₁B，证明四边形ACA₁B是平行四边形，即可证明：$\overrightarrow{AD}=\frac{{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}}{2}$；
（ II）证明$\overrightarrow{AE}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{CB}$，即可得出：$\overrightarrow{AE}•（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$为常数，并求该常数；
（III）确定$\overrightarrow{AF}$•（$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$）=2x（$\sqrt{2}$-x），利用基本不等式，求$\overrightarrow{AF}•（\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}）$的范围．

解答 （I）证明：延长AD到A₁使得AD=DA₁，连接CA₁，A₁B，
∵D是BC的中点，
∴四边形ACA₁B是平行四边形，
∴$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AD}=\frac{{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}}{2}$；
（II）证明：∵$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{CB}$，
∵DE⊥BC，∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{CB}$=0，
∵$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{2}$（${\overrightarrow{AB}}^{2}-{\overrightarrow{AC}}^{2}$）=$\frac{3}{2}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{3}{2}$
（III）解：△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{AC}$|=1，cosA=$\frac{3}{4}$，$\overrightarrow{AD}=\frac{{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}}{2}$，

∴|$\overrightarrow{AD}$|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{4+2×2×1×\frac{3}{4}+1}$=$\sqrt{2}$，
同理$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=2$\overrightarrow{FD}$，
∴$\overrightarrow{AF}$•（$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$）=$\overrightarrow{AF}$•2$\overrightarrow{FD}$=|$\overrightarrow{AF}$|•|$\overrightarrow{FD}$|，
设|$\overrightarrow{AF}$|=x，则|$\overrightarrow{FD}$|=$\sqrt{2}$-x（0$≤x≤\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{AF}$•（$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$）=2x（$\sqrt{2}$-x）≤2$（\frac{x+\sqrt{2}-x}{2}）^{2}$=1，当且仅当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号，
∴$\overrightarrow{AF}$•（$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$）∈（0，1]．

点评 本题考查平面向量知识的运用，考查向量数量积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．