Question

已知圆x²+y²=9与直线l交于A、B两点，若线段AB的中点M（2，1）
（1）求直线l的方程；
（2）求弦AB的长．

Answer 1

分析：由圆的方程找出圆心O的坐标以及圆的半径r，
（1）由M为弦AB的中点，根据垂径定理的逆定理可得直线OM垂直于AB，由M和O的坐标求出直线OM的斜率，根据两直线垂直时斜率满足的关系求出直线AB的斜率，再由M在直线AB上，由M的坐标及求出的斜率写出直线l的方程即可；
（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，再由半径r，利用垂径定理以及勾股定理，即可求出弦AB的长．

解答：解：由圆x²+y²=9，得到圆心坐标为（0，0），半径r=3，
（1）∵线段AB的中点M（2，1），
∴直线AB与直线OM垂直，
又k_OM=

1-0

2-0

=

1

2

，
由kAB•kOM=-1，得kAB•

1

2

=-1，
∴k_AB=-2，
则直线l：y-1=-2（x-2）即2x+y-5=0；
（2）∵圆心（0，0）到直线l的距离d=

|-5|

22+12

=

5

，且r=3，
则|AB|=2

r2-d2

=2

32-( 5 )2

=4．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，两直线垂直时斜率满足的关系，垂径定理，以及勾股定理，当直线与圆相交时，常常利用垂径定理由垂直得中点，根据弦长的一半，圆的半径以及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．