Question

（2006•宝山区二模）已知f（x）是最小正周期为2的函数，当x∈（-1，1]时，f(x)=

1-x2

，若在区间（3，5]上f（x）=ax有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是

0＜a＜

15

15

．

Answer 1

分析：利用函数的周期是2，得到函数f（x）在区间（3，5]上的 表达式，然后利用直线与圆的位置关系进行判断．

解答：解：因为f（x）是最小正周期为2的函数，所以当x∈（3，5]时，x-4∈（-1，1]，
所以f（x）=f（x-4）=

1-(x-4)2

，即（x-4）²+y²=1，（y≥0），表示以（4，0）为圆心，半径为1的上半圆．
当直线y=ax（a＞0）与圆相切时，得圆心到直线ax-y=0的距离d=

|4a|

a2+1

=1，即a2=

1

15

，解得a=

15

15

，
所以要使在区间（3，5]上f（x）=ax有两个不相等的实数根，则0＜a＜

15

15

．
故答案为：0＜a＜

15

15

．

点评：本题主要考查了函数周期性的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，利用数形结合是解决本题的关键．