Question

20．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}lg|x-2|（x≠2）\\ 1（x=2）\end{array}\right.$若关于x的方程[f（x）]²+b•f（x）+c=0恰有5个不同的实数解x₁、x₂、x₃、x₄、x₅，则f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）等于（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． lg4
• D． 3lg2

Answer 1

分析 分情况讨论，当x=2时，f（x）=1，则由f²（x）+bf（x）+c=0得1+b+c=0，求出x₁=2；当x＞2时，f（x）=lg（x-2），由f²（x）+bf（x）+c=0得[lg（x-2）]²+blg（x-2）-b-1=0，解得lg（x-2）=1，或lg（x-2）=b，从而求出x₂和x₃；当x＜2时，f（x）=lg（2-x），由f²（x）+bf（x）+c=0得[lg（2-x）]²+blg（2-x）-b-1=0），解得lg（2-x）=1，或lg（2-x）=b，从而求出x₄和x₅，5个不同的实数解x₁、x₂、x₃、x₄、x₅都求出来后，就能求出f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）的值．

解答 解：当x=2时，f（x）=1，则由f²（x）+bf（x）+c=0得1+b+c=0．
∴x₁=2，c=-b-1．
当x＞2时，f（x）=lg（x-2），
由f²（x）+bf（x）+c=0，
得[lg（x-2）]²+blg（x-2）-b-1=0，
解得lg（x-2）=-b-1，x₂=12或lg（x-2）=-b-1，x₃=2+10-^b-1．
当x＜2时，f（x）=lg（2-x），由f²（x）+bf（x）+c=0得[lg（2-x）]²+blg（2-x）-b-1=0，
解得lg（2-x）=1，x₄=-8或lg（2-x）=b，x₅=2-10-^b-1．
∴f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）=f（2+12+2+10^b-8+2-10^b）=f（10）=lg|10-2|=lg8=3lg2．
故选D

点评 这是一道比较难的对数函数综合题，解题时按照题设条件求出关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0的5个不同的实数解x₁、x₂、x₃、x₄、x₅，然后再求出f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）的值．