Question

若a、b、c成等比数列，且a＞0，c＞0，a+b+c=1，则b的取值范围是（　　）

• A．[0，

  1

  3

  ]
• B．[-1，

  1

  3

  ]
• C．[-

  1

  3

  ，0]
• D．[-1，0)∪(0，

  1

  3

  ]

Answer 1

分析：作为选择题，由a、b、c成等比数列，知b≠0，可直接排除选项A，B，C．
若改为填空题，首先由a、b、c成等比数列得到ac=b²，再由已知a+b+c=1，得到a+c=1-b，两边平方后得到a²+c²=-b²-2b+1．然后借助于（a+c）²≥0，（a-c）²≥0，展开后把a²+c²放缩为含有b的不等式求解．

解答：解：∵a、b、c成等比数列，∴ac=b²，
由a+b+c=1，得a+c=1-b，
两边平方得：a²+c²+2ac=b²-2b+1，
则a²+c²=-b²-2b+1．
∵（a+c）²≥0，∴a²+c²≥-2ac=-2b²，
∴-b²-2b+1≥-2b²，
∴（b-1）²≥0．
又∵（a-c）²≥0，
∴a²+c²≥2ac=2b²，
∴-b²-2b+1≥2b²，
即3b²+2b-1≤0，
（b+1）（3b-1）＜=0
解得：-1≤b≤

1

3

．
又b≠0，
∴b的范围是[-1，0)∪(0，

1

3

]．
故选：D．

点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了数学转化思想方法，训练了利用放缩法求解不等式，是中档题．