如图.在正三棱柱ABC-A1B1C1中.E∈BB1.截面A1EC⊥侧面AC1．(1)求证:BE=EB1,(2)若AA1=A1B1,求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角的度数．注意:在下面横线上填写适当内容.使之成为(Ⅰ)的完整证明.并解答(Ⅱ)．(1)证明:在截面A1EC内.过E作EG⊥A1C.G是垂足．①∵ ∴EG⊥侧面AC1,取AC的中点F.连接BF.FG.由AB=BC得BF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E∈BB₁，截面A₁EC⊥侧面AC₁．

（1）求证：BE=EB₁；
（2）若AA₁=A₁B₁；求平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成二面角（锐角）的度数．
注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）．

（1）证明：在截面A₁EC内，过E作EG⊥A₁C，G是垂足．
①∵

∴EG⊥侧面AC₁；取AC的中点F，连接BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，
②∵

∴BF⊥侧面AC₁；得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC₁于FG．
③∵

∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG，
④∵

∴FG∥AA₁，△AA₁C∽△FGC，
⑤∵

∴FG=

AA1=

BB1，即BE=

BB1，故BE=EB1．

分析：本题考查的知识点是棱柱的结构特征及二面角及其度量，
（1）要证BE=EB₁；即证E为BB₁的中点；由截面A₁EC⊥侧面AC₁．我们可以在截面A₁EC内，过E作EG⊥A₁C，G是垂足，则易证FG=BE，我们可转化为FG=

AA1，由中位线性质，我们易得答案．
（2）分别延长CE、C₁B₁交于点D，连接A₁D．我们易得∠CA₁C₁是平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成锐二面角的平面角，解三角形CA₁C₁即可得到答案．

解答：

解：（Ⅰ）①面A₁EC⊥侧面AC₁②面ABC⊥侧面AC₁
③BE∥侧面AC₁
④BE∥AA₁⑤AF=FC
（Ⅱ）解：分别延长CE、C₁B₁交于点D，连接A₁D．
∵EB₁∥CC1，EB1=

BB1=

CC1，
∴DB1=

DC1=B1C1=A1B1，
∵∠B₁A₁C₁=∠B₁C₁A₁=60°，
∠DA₁B₁=∠A₁DB₁=

（180°-∠DB₁A₁）=30°，
∴∠DA₁C₁=∠DA₁B₁+∠B₁A₁C₁=90°，即DA₁⊥A₁C₁
∵CC₁⊥面A₁C₁B₁，即A₁C₁是A₁C在平面A₁C₁D上的射影，根据三垂线定理得DA₁⊥A₁C，
所以∠CA₁C₁是所求二面角的平面角．
∵CC₁=AA₁=A₁B₁=A₁C₁，∠A₁C₁C=90°，
∴∠CA₁C₁=45°，即所求二面角为45°

点评：本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠CA₁C₁为所求二面角的平面角，通过解∠CA₁C₁所在的三角形求得∠CA₁C₁．其解题过程为：作∠CA₁C₁→证∠CA₁C₁是二面角的平面角→计算∠CA₁C₁，简记为“作、证、算”．

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