Question

13．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n，若a_n＞（1024）ⁿ，则n的最小值为8．

Answer 1

分析 化简可得log₂（a_n+1）=2^n-1，从而可得a_n=${2}^{{2}^{n-1}}$-1，从而可得2^n-1＞10n，从而解得．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n，
∴a₁+1=2，a_n+1+1=a_n²+2a_n+1=（a_n+1）²，
∴log₂（a₁+1）=1，log₂（a_n+1+1）=2log₂（a_n+1），
∴log₂（a_n+1）=2^n-1，
∴a_n=${2}^{{2}^{n-1}}$-1，
∴a_n＞（1024）ⁿ可化为${2}^{{2}^{n-1}}$-1＞（1024）ⁿ，
∴${2}^{{2}^{n-1}}$-1＞2¹⁰ⁿ，
∴2^n-1＞10n，
∴n≥8，
故n的最小值为8，
故答案为：8．

点评 本题考查了对数函数的应用及数列的应用，同时考查了指数函数的应用，属于中档题．