Question

18．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2$\sqrt{17}$，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．
（Ⅰ）证明：GH∥EF；
（Ⅱ）若EB=2，求四棱锥D-GEFH的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明GH∥EF，只需证明EF∥平面PBC，只需证明BC∥EF，利用BC∥平面GEFH即可；
（Ⅱ）求出四边形GEFH的上底、下底及高，求出面积，D到平面GEFH的距离为6，即可求四棱锥D-GEFH的体积．

解答 （Ⅰ）证明：∵BC∥平面GEFH，平面GEFH∩平面ABCD=EF，BC?平面ABCD，
∴BC∥EF，
∵EF?平面PBC，BC?平面PBC，
∴EF∥平面PBC，
∵平面EFGH∩平面PBC=GH，
∴EF∥GH；
（Ⅱ）解：连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK．
∵PA=PC，O为AC中点，
∴PO⊥AC，
同理可得PO⊥BD，
又∵BD∩AC=O，AC?底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，
又∵平面GEFH⊥平面ABCD，PO?平面GEFH，
∴PO∥平面GEFH，
∵平面PBD∩平面GEFH=GK，
∴PO∥GK，且GK⊥底面ABCD
∴GK是梯形GEFH的高
∵AB=8，EB=2，
∴$\frac{EB}{AB}=\frac{KB}{DB}$=$\frac{1}{4}$，
∴KB=$\frac{1}{4}$DB=$\frac{1}{2}$OB，即K为OB中点，
又∵PO∥GK，
∴GK=$\frac{1}{2}$PO，即G为PB中点，且GH=$\frac{1}{2}$BC=4，
由已知可得OB=4$\sqrt{2}$，PO=6，
∴GK=3，
故四边形GEFH的面积S=$\frac{1}{2}（4+8）×3$=18
∵D到平面GEFH的距离为6，
∴四棱锥D-GEFH的体积为$\frac{1}{3}×18×6$=36．

点评 本题考查线面平行的判定与性质，考查四棱锥D-GEFH的体积的计算，正确运用线面平行的判定与性质是关键．