Question

已知点B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n）（n∈N^*）在直线y=

1

2

x+1上，点A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0）…A_n（x_n，0）顺次为x轴上的点，其中x₁=a（0＜a＜1），对于任意n∈N^*，点A_n，B_n，A_n+1构成以∠B_n为顶点的等腰三角形，设△A_nB_nA_n+1的面积为S_n．
（1）证明：数列{y_n}是等差数列；
（2）求S_2n-1（用n和a的代数式表示）．

Answer 1

分析：（1）由于点B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…B_n（n，y_n）（n∈N^*）在直线y=

1

2

x+1上，可得 yn=

1

2

n+1，从而可得yn+1-yn=

1

2

，从而可证
（2）已知由

xn+xn+1

2

=n可得x_n+x_n+1=2n，x_n+1+x_n+2=2（n+1），两式相减，得x_n+2-x_n=2，则可得奇数项和偶数项分别成等数列，由等差数列的通项公式可求x_2n-1，x_2n，进而可得|A_2n-1A_2n|=2（1-a），|A_2nA_2n+1|=2a，yn=

1

2

n+1，代入三角形的面积公式可求

解答：解：（1）由于点B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…B_n（n，y_n）（n∈N^*）在直线y=

1

2

x+1上，
则 yn=

1

2

n+1  （2分）
因此yn+1-yn=

1

2

，
∴数列{y_n}是等差数列      （4分）
（2）已知由

xn+xn+1

2

=n
那么x_n+x_n+1=2n    （5分）
x_n+1+x_n+2=2（n+1），
以上两式相减，得x_n+2-x_n=2    （6分）
∴x₁，x₃，x₅，…，x_2n-1，…成等差数列，x₂，x₄ ，x₆，…，x_2n，…也成等数列，
∴x_2n-1=x₁+2（n-1）=2n+a-2  （7分）
∴x_2n=x₂+2（n+1）=（2-a）+2（n-1）=2n-a（9分）
∴点A_2n-1（2n+a-2，0）A_2n（2n-a，0），
则|A_2n-1A_2n|=2（1-a），|A_2nA_2n+1|=2a，yn=

1

2

n+1
∴S_2n-1=

1

2

×2(1-a)×y2n-1=（1-a）×y_2n-1=

(2n+1)(1-a)

2

 （12分）

点评：本题主要考查了等差数列的定义的应用，数列的递推公式的应用及三角形的面积公式的应用，属于知识的综合应用．