Question

已知函数f（x）=alnx+x²．
（1）若a=-1，求证：当x＞1时，f（x）＜

2

3

x3+

1

3

；
（2）若对任意的x∈[1，e]，使得f（x）＞（a+2）x恒成立，求出a的范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）构造函数g（x），利用导数判断函数g（x）为减函数，求出g（x）的最大值，即可证明．
（2）不等式f（x）＞（a+2）x，可化为a（x-lnx）＜x²-2x．由已知条件推导出a＜

x2-2x

x-lnx

，构造函数，利用导数求出函数的最小值就可以求出a的取值范围

解答： 解：（1）当a=-1时，f（x）=-lnx+x²，x＞1，
∴f（x）-

2

3

x³-

1

3

=-lnx+x²-

2

3

x³-

1

3

，
设g（x）=-lnx+x²-

2

3

x³-

1

3

，
∴g′（x）=-

1

x

+2x-2x²=-

2x3-2x2+1

x

设h（x）=2x³-2x²+1，
∴h′（x）=6x²-4x，
∵x＞1，
∴h′（x）＞0恒成立，
∴函数h（x）为增函数，
∴h（x）＞h（1）=2-2+1＞1，
∴g′（x）＜-1，
∴函数g（x）为减函数，
∴g（x）＜g（1）=1-

2

3

-

1

3

=0，
∴f（x）-

2

3

x³-

1

3

＜0，
即f（x）＜

2

3

x³+

1

3

（2）解：不等式f（x）＞（a+2）x，可化为a（x-lnx）＜x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
因而a＜

x2-2x

x-lnx

，（x∈[1，e]）
令F（x）=

x2-2x

x-lnx

，（x∈[1，e]），
又F′（x）=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
从而F′（x）≥0（仅当x=1时取等号），
∴F（x）在[1，e]上为增函数，
∴g（x）的最小值为g（1）=-1，
∴a的取值范围是（-∞，-1]．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用，合理运用分类讨论思想进行解题．属于中档题