Question

8．设x₁，x₂是方程x²-2mx+4m²-4m+1=0的两个不等实根，
（Ⅰ）将x₁²+x₂²表示为m的函数g（m），并求其定义域；
（Ⅱ）设f（m）=$\frac{{m}^{2}}{g（m）-1}$，求f（m）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x₁，x₂是方程x²-2mx+4m²-4m+1=0的两个不等实根，得到△＞0，则可求出m的取值范围．
（Ⅱ）把g（m）=-4m²+8m-2代入f（m）=$\frac{{m}^{2}}{g（m）-1}$，再令$t=\frac{1}{m}∈（1，3）$，则f（m）的值域可求．

解答 解：（I）对于x²-2mx+4m²-4m+1=0，△＞0得（-2m）²-4×（4m²-4m+1）＞0即$m∈（\frac{1}{3}，1）$
$g（m）={{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}=-4{m}^{2}+8m-2$，其定义域为$（\frac{1}{3}，1）$．
（II）$f（m）=\frac{{m}^{2}}{-4{m}^{2}+8m-3}=\frac{1}{-4+\frac{8}{m}-\frac{3}{{m}^{2}}}$，
令$t=\frac{1}{m}∈（1，3）$则$f（m）=\frac{1}{-3{t}^{2}+8t-4}$，则f（m）的值域为$（-∞，-\frac{1}{7}）∪[\frac{4}{3}，+∞）$．

点评 本题考查了函数的定义域及其值域的求法，是基础题．