Question

1．如图，已知边长为4的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于F设BE=x，记f（x）=$\overrightarrow{EC}$•$\overrightarrow{CF}$，则函数f（x）的值域是（0，4]，当△ECF面积最大时，|$\overrightarrow{EF}$|=2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 可过F作BC的垂线FG，垂足为G，根据条件便知△ABE∽△EGF，可设FG=y，根据相似三角形对应边的比例相等便可得出y=x，从而根据向量数量积的计算公式即可得出f（x）=-（x-2）²+4，从而求该二次函数在（0，4）上的值域即可．根据三角形的面积公式${S}_{△ECF}=\frac{1}{2}（4-x）x$，由基本不等式即可得出x=2时，△ECF面积最大，从而由EF²=EG²+FG²即可得出$|\overrightarrow{EF}|$．

解答 解：如图，作FG⊥BC，交BC延长线于G，根据题意△ABE∽△EGF，设FG=y，则：
$\frac{AB}{EG}=\frac{BE}{GF}$；
即$\frac{4}{4-x+y}=\frac{x}{y}$；
∴（4-x+y）x=4y；
∴（4-x）x=（4-x）y；
∵4-x≠0；
∴x=y；
即y=x；
∴$\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{CF}=|\overrightarrow{EC}||\overrightarrow{CF}|cos45°$=$（4-x）•\sqrt{2}x•\frac{\sqrt{2}}{2}=（4-x）x$=-x²+4x=-（x-2）²+4；
∴f（x）=-（x-2）²+4，0＜x＜4；
f（2）=4，f（0）=f（4）=0；
∴0＜f（x）≤4；
∴f（x）的值域为（0，4]；
${S}_{△ECF}=\frac{1}{2}（4-x）x≤\frac{1}{2}（\frac{4-x+x}{2}）^{2}=2$，当4-x=x，即x=2时取“=”；
∴$|\overrightarrow{EF}|=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$．
故答案为：（0，4]，2$\sqrt{5}$．

点评 考查相似三角形的判断，相似三角形的对应边比例关系，二次函数值域求法，根据基本不等式求函数最值，直角三角形的边的关系，向量数量积的计算公式．