Question

（2012•道里区三模）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）当PD=

2

AB，且直线AE与平面PBD成角为45°时，确定点E的位置，即求出

PE

EB

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设AC交BD于O，连接OE，由PD⊥平面ABCD，知PD⊥AC，由BD⊥AC，知AC⊥平面PBD，由此能够证明平面ACE⊥平面PBD．
（Ⅱ）法一：由平面ACE⊥平面PBD，知AO⊥PBD，由直线AE与平面PBD成角为45°，知∠AEO=45°，由此能够求出

PE

EB

．
法二：以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出

PE

EB

的值．

解答：解：（Ⅰ）设AC交BD于O，连接OE，
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，
∵BD⊥AC，∴AC⊥平面PBD，
又∵AC⊆平面AEC，∴平面ACE⊥平面PBD．…（6分）
（Ⅱ）（方法一）∵平面ACE⊥平面PBD，平面ACE∩平面PBD=BD
AO⊥BD
∴AO⊥面PBD，
∵直线AE与平面PBD成角为45°，∴∠AEO=45°，
设PD=

2

AB=2，则OE=1，
∴

PE

EB

=1．…（12分）
（方法二）以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，如图 
平面BDE法向量为

n

=(1，-1，0)，
设PD=

2

AB=2，E(

2

λ，

2

λ，2-2λ)，

PB

=(

2

，

2

，-2)，
令

PE

=λ

PB

，
则

AE

=(

2

λ-

2

，

2

λ，2-2λ)，

| AE • n|

| AE | n ||

=

2

2

，
得λ=

1

2

或λ=1（舍），
∴

PE

BE

=1．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查点的位置的确定．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间思维能力的培养．