Question

2．设函数f（x）=|log₂₅（x+1）-a|+2a+1，x∈[0，24]，且a∈（0，1）
（Ⅰ）当$a=\frac{1}{2}$时，求f（x）的最小值及此时x的值；
（Ⅱ）当f（x）的最大值不超过3时，求参数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当$a=\frac{1}{2}$时，$f（x）=|{{{log}_{25}}（{x+1}）-\frac{1}{2}}|+2≥2$，根据此时${log_{25}}（{x+1}）-\frac{1}{2}=0$，可得相应的x的值；
（Ⅱ）设t=log₂₅（x+1），则当0≤x≤24时，0≤t≤1．则f（x）_max=max{g（0），g（1）}，进而可得参数a的取值范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ） 因为$a=\frac{1}{2}$，则$f（x）=|{{{log}_{25}}（{x+1}）-\frac{1}{2}}|+2≥2$．（2分）
即f（x）_min=2，
此时${log_{25}}（{x+1}）-\frac{1}{2}=0$，
得$x+1={25^{\frac{1}{2}}}=5$，即x=4．（4分）
（Ⅱ）设t=log₂₅（x+1），则当0≤x≤24时，0≤t≤1．
设g（t）=|t-a|+2a+1，t∈[0，1]，
则$g（t）=\left\{\begin{array}{l}-t+3a+1，0≤t≤a\\ t+a+1，a≤t≤1\end{array}\right.$，（6分）
显然g（t）在[0，a]上是减函数，在[a，1]上是增函数，
则f（x）_max=max{g（0），g（1）}，
因为g（0）=3a+1，g（1）=a+2，
由g（0）-g（1）=2a-1＞0，得$a＞\frac{1}{2}$．（8分）
所以$f{（x）_{max}}=\left\{\begin{array}{l}a+2，0＜a≤\frac{1}{2}\\ 3a+1，\frac{1}{2}＜a＜1\end{array}\right.$，（10分）
当$0＜a≤\frac{1}{2}$时，$2＜a+2≤\frac{5}{2}＜3$，符合要求；
当$\frac{1}{2}＜a＜1$时，由3a+1≤3，得$\frac{1}{2}＜a≤\frac{2}{3}$．
综合，得参数a的取值范围为$（{0，\frac{2}{3}}]$．（12分）

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，难度中档．