Question

 

（13分，理科做）已知函数的定义域为，且同时满足：①；②恒成立；③若，则有．

（1）试求函数的最大值和最小值；

（2）试比较与的大小N）；

（3）某人发现：当x=(nÎN)时，有f(x)<2x＋2.由此他提出猜想：对一切xÎ(0,1,都有，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

（理）解: (1)设0≤x1<x2≤1,则必存在实数tÎ(0,1),使得x2=x1＋t,

由条件③得,f(x2)=f(x1＋t)³f(x1)＋f(t)－2,

∴f(x2)－f(x1)³f(t)－2,

由条件②得, f(x2)－f(x1)³0,

故当0≤x≤1时,有f(0)≤f(x)≤f(1).

又在条件③中,令x1=0,x2=1,得f(1)³f(1)＋f(0)－2,即f(0)≤2,∴f(0)=2,

故函数f(x)的最大值为3,最小值为2.

(2)解:在条件③中,令x1=x2=,得f()³2f()－2,即f()－2≤[f()－2],  

故当nÎN*时，有f()－2≤[f()－2]≤[f()－2]≤···≤[f()－2]=,

即f()≤＋2.

又f()=f(1)=3≤2＋,所以对一切nÎN,都有f()≤＋2.

 (3)对一切xÎ(0,1,都有.对任意满足xÎ(0,1，总存在n(nÎN),使得

<x≤,  根据（1）（2）结论，可知：f(x)≤f()≤＋2,

且2x＋2>2´＋2=＋2,故有.

综上所述，对任意xÎ(0,1,恒成立. 

 

【解析】略