Question

对于以下命题
①若（

1

2

）^a=（

1

3

）^b，则a＞b＞0；
②设a，b，c，d是实数，若a²+b²=c²+d²=1，则abcd的最小值为-

1

4

；
③若x＞0，则（（2-x）e^x＜x+2；
④若定义域为R的函数y=f（x），满足f（x）+f（x+2）=2，则其图象关于点（2，1）对称．
其中正确命题的序号是

 

（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析：根据函数的性质分别进行判断即可．

解答：解：①当a=b=0时．满足（

1

2

）^a=（

1

3

）^b=1，但a＞b＞0不成立，∴①错误．
②设a，b，c，d是实数，若a²+b²=c²+d²=1，
则a²+b²≥2|ab|，c²+d²=≥2|cd|，
∴|ab|≤

1

2

，|cd|≤

1

2

，
∴|abcd|=|ab|•|cd|≤

1

2

•

1

2

=

1

4

，
∴-

1

4

≤abcd≤

1

4

，
则abcd的最小值为-

1

4

，∴②正确．
③若x=2，则不等式等价为0＜4成立，
若x＞2时，2-x＜0，x+2＞4，∴不等式成立．
若0＜x＜2，则不等式等价为e^x＜

x+2

2-x

=-1-

4

x-4

；由图象可知不等式成立．
故③正确．
④若定义域为R的函数y=f（x），满足f（x）+f（x+2）=2，则f（x+2）+f（x+4）=2，即f（x+2）+f（x+4）=f（x+2）+f（x），
∴f（x+4）=f（x），即函数的周期是4，则其图象关于点（2，1）对称不正确．
其中正确命题的序号是②③，
故答案为：②③．

点评：本题主要考查各种命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强．