Question

如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S．
（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；
（Ⅱ）求面积S的最大值．

Answer 1

分析：（I）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系，由图可得C的横坐标，进而可以表示出c的纵坐标，由解析式分析x的取值范围，即函数的定义域，可得答案；
（II）利用导数计算，记f（x）=4（x+r）²（r²-x²），（0＜x＜r），对其求导可得f′（x）=8（x+r）²（r-2x），求得其导函数的零点，分析其单调性，可得当x=

1

2

r时，S也取得最大值，即可得答案．

解答：解：（I）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O-xy（如图），
则点C的横坐标为x，
点C的纵坐标y满足方程

x2

r2

+

y2

4r2

=1(y≥0)，
解得y=2

r2-x2

(0＜x＜r)S=

1

2

(2x+2r)•2

r2-x2

=2(x+r)•

r2-x2

，
其定义域为{x|0＜x＜r}．
（II）记f（x）=4（x+r）²（r²-x²），（0＜x＜r），
则f′（x）=8（x+r）²（r-2x）．
令f′（x）=0，得x=

1

2

r．
因为当0＜x＜

r

2

时，f′（x）＞0；当

r

2

＜x＜r时，
f′（x）＜0，所以f(

1

2

r)是f（x）的最大值．
因此，当x=

1

2

r时，S也取得最大值，最大值为

f( 1 2 r)

=

3 3

2

r2．
即梯形面积S的最大值为

3 3

2

r2．

点评：本题考查椭圆方程及其性质的应用与根据导数求函数的最值的方法；第一注意结合题意，建立合适的坐标系，其次在运用导数求函数的最值时，注意自变量的实际意即函数的定义域．