如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,.以的中点为球心、为直径的球面交于点.
(1)求证:平面⊥平面;
(2)求直线与平面所成的角;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)求点到平面的距离.
解析:方法(一):
(1)证:依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD.
因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,又AB⊥AD,
所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD,因此有PD⊥平面ABM,所以平面ABM⊥平面PCD.
(2)设平面ABM与PC交于点N,因为AB∥CD,所以AB∥平面PCD,则AB∥MN∥CD,
由(1)知,PD⊥平面ABM,则MN是PN在平面ABM上的射影,
所以 就是与平面所成的角,
且
所求角为
(3)因为O是BD的中点,则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半,由(1)知,PD⊥平面ABM于M,则|DM|就是D点到平面ABM距离.
因为在Rt△PAD中,,,所以为中点,,则O点到平面ABM的距离等于。
方法二:
(1)同方法一;
(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则,,, ,,,
设平面的一个法向量,由可得:,令,则,即.设所求角为,则,
所求角的大小为.
(3)设所求距离为,由,得:
科目:高中数学 来源:2010-2011年广西省桂林中学高二下学期期中考试数学 题型:解答题
((本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面是矩形.已知
.
(1)证明平面;
(2)求异面直线与所成的角的大小;
(3)求二面角的大小.
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科目:高中数学 来源:2012届福建省三明市高三第一学期测试理科数学试卷 题型:解答题
如图,在四棱锥中,底面是菱形,,,,平面,是的中点,是的中点.
(Ⅰ) 求证:∥平面;
(Ⅱ)求证:平面⊥平面;
(Ⅲ)求平面与平面所成的锐二面角的大小.
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科目:高中数学 来源:2013届上海市高二年级期终考试数学 题型:解答题
(本题满分16分)
如图,在四棱锥中,底面是矩形.已知.
(1)证明平面;
(2)求异面直线与所成的角的大小;
(3)求二面角的大小.
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科目:高中数学 来源:2010年江苏省高二下学期期末考试附加卷数学卷 题型:解答题
如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱,为中点,作交于
(1)求PF:FB的值
(2)求平面与平面所成的锐二面角的正弦值。
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科目:高中数学 来源:2011届浙江省高三6月考前冲刺卷数学理 题型:解答题
(本小题满分14分)
如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,平面,在棱上.
(Ⅰ)当时,求证平面
(Ⅱ)当二面角的大小为时,求直线与平面所成角的正弦值.
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