Question

2．证明：$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$＜1n2．（n∈N⁺）．

Answer 1

分析 将不等式的左边分子分母同除以n，可令$\underset{lim}{n→∞}$$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{1+\frac{i}{n}}$•$\frac{1}{n}$=$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{1+\frac{i}{n}}$•$\frac{1}{n}$，再由积分${∫}_{0}^{1}$$\frac{1}{1+x}$dx，计算即可得证．

解答 证明：$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$=$\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}$+$\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}$+$\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{n}}$+…+$\frac{\frac{1}{n}}{1+1}$
=$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{1+\frac{i}{n}}$•$\frac{1}{n}$，
可令$\underset{lim}{n→∞}$$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{1+\frac{i}{n}}$•$\frac{1}{n}$=$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{1+\frac{i}{n}}$•$\frac{1}{n}$，
由$\underset{lim}{n→∞}$$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{1+\frac{i}{n}}$•$\frac{1}{n}$=${∫}_{0}^{1}$$\frac{1}{1+x}$dx=ln（1+x）|${\;}_{0}^{1}$=ln2-ln1=ln2．
由于n取不到∞，则有$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$＜1n2．

点评 本题考查不等式的证明，注意变形，由极限思想求积分是解题的关键，考查运算能力，属于难题．