Question

（2007•成都一模）定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：f（-x）+f（x）=0，当x∈（-1，0）时函数f（x）的导函数f'（x）＜0恒成立．如果f（1-a）+f（1-a²）＞0，则实数a的取值范围为

1＜a＜

2

．

Answer 1

分析：先判断函数为奇函数，再由题意得f（x）在x∈（-1，1）上为单调递减函数，从而可建立不等式组，解之即可得到实数a的取值范围

解答：解：∵f（-x）=-f（x），x∈（-1，1），
∴f（x）为奇函数；
又x∈（-1，0）时，f'（x）＜0，
∴f'（x）在（-1，0）上是单调递减函数．
由奇函数的性质，可知f（x）在x∈（-1，1）上为单调递减函数；
∴f(1-a)+f(1-a2)＞0?f(1-a)＞f(a2-1)?

-1＜1-a＜1 -1＜1-a2＜1. 1-a＜a2-1

∴

0＜a＜2 0＜a＜ 2 或- 2  ＜a＜0 a＞1或a＜-2

解得1＜a＜

2

．
故答案为：1＜a＜

2

点评：本题以函数的性质为载体，考查函数性质的运用，考查解不等式，解题的关键是判断f（x）在x∈（-1，1）上为单调递减函数