Question

10．已知f（x）=2cos²x-2asinx+a²-2a+1（0≤x≤$\frac{π}{2}$）的最小值为-2，求实数a的值，并求此时f（x）的最大值．

Answer 1

分析 化简f（x）=2cos²x-2asinx+a²-2a+1=f（x）=2（1-sin²x）-2asinx+a²-2a+1=-2（sinx+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{3}{2}{a}^{2}$-2a+3
结合0≤cosx≤1分类讨论由二次函数区间的最值可得．

解答 解：化简f（x）=2cos²x-2asinx+a²-2a+1可得f（x）=2（1-sin²x）-2asinx+a²-2a+1
=-2（sinx+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{3}{2}{a}^{2}$-2a+3
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，∴0≤sinx≤1，
令g（t）=-2（t+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{3}{2}{a}^{2}$-2a+3，0≤t≤1
当-$\frac{a}{2}$$≥\frac{1}{2}$即a≤-1时，即t=0时函数g（t）取最小值，a²-2a+3=-2，无解
当-$\frac{a}{2}＜\frac{1}{2}$时，即a≥-1时，即t=1时，函数g（t）取最小值，a²-4a+1=-2，解得a=1，a=3（符合题意）
此时f（x）的最大值为g（0）=2或6．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及二次函数区间的最值和分类讨论的思想，属中档题．