Question

某车队2000年初以98万元购进一辆大客车，并投入营运，第一年需支出各种费用12万元，从第二年起每年支出费用均比上一年增加4万元，该车投入营运后每年的票款收入为50万元，设营运n年该车的盈利总额为y万元．
（1）写出y关于n的函数关系式；
（2）从哪一年开始，该汽车开始获利；
（3）有两种方案处理该车：
方案1----当盈利总额达最大值时，年底以20万元的价格卖掉该车；
方案2----当年均盈利额最大时，年底以40万元的价格卖掉该车．
试问车队以哪种方案处理该车获利较大？

Answer 1

分析：（1）由题意知，每年支出费用构成一个等差数列，首项是12，公差是4，求出前n项和即得总支出费用，最后根据营运n年该车的盈利总额等于收入减去总局支出即得；
（2）在（1）所得函数解析中．令y＞0，解所列不等式即可得结果；
（3）先分别计算出按照方案1来处理的盈利额；按照方案2来处理，年均盈利额，所以按照方案2来处理该车，第7年时卖掉该车共获利数额，最后综上可知车队以哪一个方案来处理该车获利较大．

解答：解：（1）由题意知，每年支出费用构成一个等差数列，首项是12，公差是4，其前n项和为：12n+

n(n+1)×4

2

∴营运n年该车的盈利总额为：
y=50n-98-[12n+

n(n-1)

2

•4]=-2n2+40n-98(n∈N*)．（4分）
（2）令y＞0，即n2-20n+49＜0⇒10-

51

＜n＜10+

51

⇒3≤n≤17，（6分）
∴从2002年开始，该汽车开始获利．（8分）
（3）按照方案1来处理，盈利额为y=-2（n-10）²+102，即n=10时，y_max=102，（10分）
即按照方案1来处理，第10年时卖掉该车共获利102+20=122万元．（11分）
按照方案2来处理，年均盈利额为

.

y

=

y

n

=

-2n2+40n-98

n

=40-2（n+

49

n

）≤40-28=12，
（当且仅当n=7时取“=”），
即n=7时

.

y

_max=12，（13分）
所以按照方案2来处理该车，第7年时卖掉该车共获利84+40=124万元．（14分）
综上可知车队以方案2来处理该车获利较大，为124万元．（15分）

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、数列的知识、基本不等式、不等式的解法等．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．