Question

【题目】已知等边三角形PAB的边长为4，四边形ABCD为正方形，平面PAB⊥平面ABCD，E，F，G，H分别是线段AB，CD，PD，PC上的点．
（1）如图①，若G为线段PD的中点，BE=DF=1，证明：PB∥平面EFG；
（2）如图②，若E，F分别是线段AB，CD的中点，DG=3GP，GH= HP，求二面角H﹣EF﹣G的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取CD的中点K，连结PK、BK，

∵G为线段PD的中点，BE=DF=1，

∴GF是△DPK的中位线，∴PK∥GF，

∵GF平面EFG，PK平面EFG，

∴PK∥平面EFG，

∵四边形ABCD为正方形，BE=DF=1，∴四边形EBKF是平行四边形，

∴BK∥EF，∵EF平面EFG，BK平面EFG，

∴BK∥平面EFG，

∵PK∩BK=K，PK，BK平面PKB，∴平面EFG∥平面PKB，

∵PB平面PKB，∴PB∥平面EFG

（2）解：（2）连结PE，则PE⊥AB，

∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE平面PAB，

∴PE⊥平面ABCD，分别以EB、EF、EP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则P（0，0，2 ），E（0，0，0），F（0，4，0），G（﹣ ，1， ），H（ ，3， ），

则 =（ ）， =（0，4，0）， =（﹣ ），

设平面EFG的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=9，得 =（9，0， ），

设平面HEF的法向量 =（a，b，c），

则 ，取a=﹣1，得 =（﹣1，0， ），

∴cos＜ ＞= = =﹣ ，

由图知二面角H﹣EF﹣G是钝角，

∴二面角H﹣EF﹣G的余弦值是﹣ ．

【解析】（1）取CD的中点K，连结PK、BK，推导出GF是△DPK的中位线，从而PK∥GF，进而PK∥平面EFG，推导出四边形EBKF是平行四边形，从而BK∥平面EFG，进而平面EFG∥平面PKB，由此能证明PB∥平面EFG．（2）连结PE，则PE⊥AB，分别以EB、EF、EP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角H﹣EF﹣G的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．