Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中 AB=BC=2，∠ABC=120°，又顶点A₁在底面ABC上的射影落在AC上，侧棱AA₁与底面成60°的角，D为AC的中点．
（1）求证：AA₁⊥BD；
（2）若面A₁DB⊥面DC₁B，求侧棱AA₁之长．

Answer 1

证明：（1）在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，因为A₁在底面ABC上射影落在AC上，则平面A₁ACC₁经过底面ABC的垂线
故侧面A₁C⊥面ABC．
又 BD为等腰△ABC底边AC上中线，则BD⊥AC，从而BD⊥面AC．
∴BD⊥面A₁C
又AA₁?面A₁C，∴AA₁⊥BD
（2）解：在底面ABC，△ABC是等腰三角形，D为底边AC上中点，故DB⊥AC，又面ABC⊥面A₁C
∴DB⊥面A₁C，则DB⊥DA₁，DB⊥DC₁，则∠A₁DC₁是二面角A₁-OB-C₁的平面角
∵面A₁DB⊥面DC₁B，则∠A₁DC₁=Rt∠，将平面A₁ACC₁放在平面坐标系中（如图），

∵侧棱AA₁和底面成60°，
设A₁A=a，则A₁=（，a），C₁（+2，a） A（0，0），C（2，0），AC中点D（，0），
由知：（-，a）•（+，a）=0，∴a²=3，a=
故所求侧棱AA₁长为
分析：（1）要证线线垂直，关键是证明线面垂直，利用面面垂直可得线面垂直，故可证；
（2）由于面A₁DB⊥面DC₁B，△ABC是等腰三角形，D为底边AC上中点，可知∠A₁DC₁是二面角A₁-OB-C₁的平面角为Rt∠，再将平面A₁ACC₁放在平面坐标系中，可求．
点评：本题的考点是点、线、面间的距离计算，考查平面与平面垂直的性质，二面角及其度量，考查计算能力，逻辑思维能力，转化思想．