Question

已知函数f（x）=x³-ax²-bx+a²，x∈R，a，b为常数．
（1）若函数f（x）在x=1处有极值10，求实数a，b的值；
（2）若函数f（x）是奇函数，
①方程f（x）=2在x∈[-2，4]上恰有3个不相等的实数解，求实数b的取值范围；
②不等式f（x）+2b≥0对?x∈[1，4]恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导函数，令导函数在x=1的值为0，令函数在x=1的值10，列出方程组，求出a，b的值，将求出的a，b值代入导函数，判断是否在x=0取得极值．
（2）①构造新函数，求出新函数的导数，通过对b的讨论，判断出函数的单调性，求出函数的极值，据方程根的个数，判断出极值的符号，列出不等式求出b的范围．
②通过对x的分段讨论分离出b，构造函数，通过导数求出函数的最值，求出b的范围．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-2ax-b，
由f（x）在x=1处有极值10，得f’（1）=0，f（1）=10．                      
即3-2a-b=0，1-a-b+a?2=10，
解得a=3，b=-3或a=-4，b=11．  
经检验，a=3，b=-3不合题意，舍去．
∴a=-4，b=11．                             
（2）由于函数f（x）的定义域为R，
由函数f（x）是奇函数，得f（0）=0，
∴a=0．      
①由f（x）=2，得f（x）-2=0，
令g（x）=f（x）-2=x³-bx-2，
则方程g（x）=0在x∈[-2，4]上恰有3个不相等的实数解．
∵g′（x）=3x²-b，
（ⅰ）若b≤0，则g′（x）≥0恒成立，且函数g（x）不为常函数，
∴g（x）在区间[-2，4]上为增函数，g（0）=0，
所以，g（x）=0在区间[-2，4]上有且只有一个实数解．
不合题意，舍去．
（ⅱ）若b＞0，则函数g（x）在区间（-∞，-

b 3

）上为增函数，在区间（-，

b 3

）上为减函数，
在区间（

b 3

，+∞）上为增函数，
由方程g（x）=0在x∈[-2，4]上恰有3个不相等的实数解，
可得

f(-2)≤0 f(- b 3 )＞0 f(4)≥0

解得

b≤5 b＞3 b≤ 31 2

∴b∈（3，5]
②由不等式f（x）+2b≥0，得x³-bx+2b≥0，即（x-2）b≤x³，
（ⅰ）若x-2=0即x=2时，b∈R；            
（ⅱ）若x-2＜0即x∈[1，2）时，b≥

x3

x-2

在区间[1，2）上恒成立，
令h（x）=

x3

x-2

，则b≥h（x）_max．
∵h′（x）=

2x2(x-3)

(x-2)2

，
∴h′（x）＜0在x∈[1，2）上恒成立，
所以h（x）在区间[1，2）上是减函数，
∴h（x）_max=h（1）=-1，
∴b≥-1．          
（ⅲ）若x-2＞0即x∈（2，4]时，b≤

x3

x-2

在区间（2，4]上恒成立，则b≤h（x）_min．
由（ⅱ）可知，函数所以h（x）在区间（2，3）上是减函数，在区间（3，4]上是增函数，
∴h（x）_min=h（3）=27，
∴b≤27．                                
综上所述，b∈[-1，27]．

点评：解决函数的极值问题要注意：极值点处的导数值为0是函数取得极值的必要不充分条件；解决不等式恒成立问题常采用分离参数转化为求函数的最值．