Question

16．在矩形ABCD中，AB=2，BC=t，对于边BC（含端点）上任意一点P，在边CD（含端点）上总存在一点Q，使$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BQ}$=O．
（1）证明：$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$为定值；
（2）求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）建立坐标系，然后，分别写出相关点的坐标，然后，根据向量的数量积运算，计算即可说明成立；
（2）首先，设出P（2，y），Q（x-2，t），则2x=4-ty，再结合0≤x≤2，得到?y∈[0，t]，都有0≤4-ty≤4，只需要t≤（$\frac{4}{m}$）_min，即可确定t的取值范围．

解答 解：（1）如下图所示：

设点A（0，0），B（2，0），C（2，t），D（0，t），P（2，y₀），Q（x₀，t），
∴$\overrightarrow{AP}$=（2，y₀），$\overrightarrow{BQ}$=（x₀-2，t），
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BQ}$=2x₀-4+ty₀=0，
∴2x₀+ty₀=4，
∵$\overrightarrow{AQ}$=（x₀，t），
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$=2x₀+ty₀=4（定值），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$为定值．
（2）P（2，y），Q（x-2，t），则2x=4-ty，
∵0≤x≤2，
∴?y∈[0，t]，都有0≤4-ty≤4，即0≤ty≤4，
当y=0时，t∈R，
当0＜y≤t时，mt≤4，t≤$\frac{4}{m}$，
∴t≤（$\frac{4}{m}$）_min，
∴t≤$\frac{4}{t}$，即0≤t≤2．

点评 本题重点考查了向量的坐标表示、向量的基本运算等知识，属于中档题．