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    对于定义域为D的函数f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内有单调性；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，则称f（x）为D上的“和谐”函数，[a，b]为函数f（x）的“和谐”区间．
    （Ⅰ）求“和谐”函数y=x3符合条件的“和谐”区间；
    （Ⅱ）判断函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    是否为“和谐”函数？并说明理由．
    （Ⅲ）若函数g(x)=
    		x+4
    +m    是“和谐”函数，求实数m的取值范围．
    分析：（Ⅰ）根据“和谐”函数的定义，建立条件关系，即可求y=x3符合条件的“和谐”区间；
    （Ⅱ）判断函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    是否满足“和谐”函数？的条件即可．
    （Ⅲ）根据函数g（x）是“和谐”函数，建立条件关系，即可求实数m的取值范围．
    解答：解：（Ⅰ）因为y=x3是单调递增函数，
    所以有
    a3=a
    b3=b
    a＜b
    ⇒
    a=-1
    b=1
    a=-1
    b=0
    a=0
    b=1
    ，
    即[a，b]=[-1，1]或[a，b]=[-1，0]或[a，b]=[0，1]．
    （Ⅱ）函数f(x)=x+
    4
    x
    在（0，+∞）上不单调（说明），不是“和谐”函数．
    （Ⅲ）若g(x)=
    		x+4
    +m    是“和谐”函数．
    设-4≤x1＜x2，
    则g(x1)-g(x2)=
    		x1+4
    -
    		x2+4
    =
    (x1+4)-(x2+4)
    		x1+4
    +
    		x2+4
    ＜0    ，
    所以g(x)=
    		x+4
    +m    是单调递增函数．
    若它是“和谐”函数，则必具备方程x=
    		x+4
    +m    有两个不相同的实数解，
    即方程x2-（2m+1）x+m2-4=0有两个不同的实数解且同时大于或等于-4和m．若令h（x）=x2-（2m+1）x+m2-4，
    则
    △＞0
    2m+1
    2
    ＞-4
    h(-4)≥0
    x≥m
    ⇒m∈(-
    17
    4
    ，-4]    ．
    另解：方程x=
    		x+4
    +m    有两个不相同的实数解，
    等价于两函数y1=x-m与y2=
    		x+4
    的图象有两个不同的交点，当直线过（-4，0）时，m=-4；
    直线与抛物线相切时m=-
    17
    4
    ，∴m∈(-
    17
    4
    ，-4]    ．
    若它是“和谐”函数，则必具备方程x=
    		x+4
    +m    有两个不相同的实数解，
    即方程x2-（2m+1）x+m2-4=0有两个不同的实数解且同时大于或等于-4和m．
    若令h（x）=x2-（2m+1）x+m2-4，
    则
    △＞0
    2m+1
    2
    ＞-4
    h(-4)≥0
    x≥m
    ⇒m∈(-
    17
    4
    ，-4]    ．
    点评：本题主要考查“和谐”函数的定义及应用，正确理解“和谐”函数的定义是解决本题的关键．
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    对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：
    ①f（x）在[m，n]内是单调函数；
    ②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
    （1）求证：函数y=g(x)=3-
    5
    x
    不存在“和谐区间”．
    （2）已知：函数y=
    (a2+a)x-1
    a2x
    （a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n-m的最大值．
    （3）易知，函数y=x是以任一区间[m，n]为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的y=x及形如y=
    bx+c
    ax
    的函数为例）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于定义域为D的函数f（x），若存在区间M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的“等值区间”．给出下列三个函数：
    ①f(x)=(
    12
    )x    ；   ②f（x）=x3；    ③f（x）=log2x+1
    则存在“等值区间”的函数的个数是
    2
    2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．
    （1）求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a，b]；
    （2）判断函数f（x）=
    3
    4
    x+
    1
    x
    （x＞0）是否为闭函数？并说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•崇明县一模）定义：对于定义域为D的函数f（x），如果存在t∈D，使得f（t+1）=f（t）+f（1）成立，称函数f（x）在D上是“T”函数．已知下列函数：
    ①f（x）=
    1x
    ；　
    ②f（x）=log2（x2+2）；
    ③f（x）=2x（x∈（0，+∞））；　
    ④f（x）=cosπx（x∈[0，1]），其中属于“T”函数的序号是
    ③
    ③
    ．（写出所有满足要求的函数的序号）

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