(1)试问MN的长是否随圆心K的运动而变化?
(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时,抛物线C的准线与圆K有怎样的位置关系?证明你的结论.
解:(1)设圆心K(x0,y0),且y02=2ax0,圆K的半径R=|AK|==
,
∴|MN|=2=2
=2a(定值).
∴弦MN的长不随圆心K的运动而变化.
(2)设M(0,y1),N(0,y2),
在圆K:(x-x0)2+(y-y0)2=x02+a2中,
令x=0,得y2-2y0y+y02-a2=0.
∴y1y2=y02-a2.
∵|OA|是|OM|和|ON|的等差中项,
∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a.
又∵|MN|=|y1-y2|=2a,
∴|y1|+|y2|=|y1-y2|.
∴y1·y2≤0.因此y02-a2≤0,
即2ax0-a2≤0,
∴0≤x0≤.
圆心K到抛物线准线的距离d=x0+≤a,
而圆K半径R=≥a,
以上两式不能同时取等号,故圆K必与准线相交.
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(12分)如图,已知圆C:,定点A(1,0),M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足
=
,
?
=0,点N的轨迹为曲线E.
(Ⅰ)求曲线E的方程;
(Ⅱ)若过定点A(1,0)的直线交曲线E于不同的两点G、H,
且满足∠GOH为锐角,求直线的斜率k的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
已知圆k过定点A(a,0)(a>0),圆心k在抛物线C: y2=2ax上运动,MN为圆k在y轴上截得的弦.
(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化?
(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时,抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系?
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科目:高中数学 来源:2010年四川省自贡市高考数学三模试卷(文科)(解析版) 题型:解答题
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