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    已知圆K过定点A(a,0)(a＞0),圆心K在抛物线C:y2=2ax上运动,MN为圆K在y轴上截得的弦.

    (1)试问MN的长是否随圆心K的运动而变化?

    (2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时,抛物线C的准线与圆K有怎样的位置关系?证明你的结论.

    解：(1)设圆心K(x0,y0),且y02=2ax0,圆K的半径R=|AK|==,

    ∴|MN|=2=2=2a(定值).

    ∴弦MN的长不随圆心K的运动而变化.

    (2)设M(0,y1),N(0,y2),

    在圆K:(x-x0)2+(y-y0)2=x02+a2中,

    令x=0,得y2-2y0y+y02-a2=0.

    ∴y1y2=y02-a2.

    ∵|OA|是|OM|和|ON|的等差中项,

    ∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a.

    又∵|MN|=|y1-y2|=2a,

    ∴|y1|+|y2|=|y1-y2|.

    ∴y1·y2≤0.因此y02-a2≤0,

    即2ax0-a2≤0,

    ∴0≤x0≤.

    圆心K到抛物线准线的距离d=x0+≤a,

    而圆K半径R=≥a,

    以上两式不能同时取等号,故圆K必与准线相交.

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