Question

已知方程x²+y²-2（t+3）x+2（1-4t²）y+16t⁴+9=0（t∈R）的图形是圆．
（1）求t的取值范围；
（2）求其中面积最大的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）把已知方程用配方法化为圆的标准方程，再由r²＞0求出t范围；
（2）当半径最大时圆的面积最大，即求二次函数y═-7t²+6t+1的最大值，验证在对称轴的值是否取到；再代入r=

-7t2+6t+1

求出半径即可．

解答：解：（1）方程x²+y²-2（t+3）x+2（1-4t²）y+16t⁴+9=0，配方得
（x-t-3）²+（y+1-4t²）²=（t+3）²+（4t²-1）²-16t⁴-9
即（x-t-3）²+（y+1-4t²）²=-7t²+6t+1
∴r²=-7t²+6t+1＞0，解得：-

1

7

＜t＜1
（2）由（1）知r=

-7t2+6t+1

∴当t=

3

7

∈（-

1

7

，1）时，r有最大值即r=

-7×( 3 7 )2+6× 3 7 +1

=

4

7

7

；
∴rmax=

4

7

7

，此时圆面积最大，
所对应圆的方程是(x-

24

7

)2+(y+

13

49

)2=

16

7

．

点评：本题考查了二元二次方程表示圆的条件和求半径的最大值，可用配方法将方程化为标准方程后，利用r²＞0求出参数的范围，求半径的最大值时需要验证对称轴的值是否取到．