Question

（2012•无为县模拟）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，b=3，cosC=

1

3

．
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）求sin（C-A）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系式求出sinC，然后求△ABC的面积；
（Ⅱ）通过余弦定理求出c，利用正弦定理求出sinA，同角三角函数的基本关系式求出cosA，利用两角和的正弦函数求sin（C-A）的值．

解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，因为cosC=

1

3

，
所以sinC=

1-cos2C

=

1-( 1 3 )2

=

2 2

3

．          …（2分）
所以，S△ABC=

1

2

ab•sinC=

1

2

×2×3×

2 2

3

=2

2

．    …（5分）
（Ⅱ）由余弦定理可得，c²=a²+b²-2ab•cosC=4+9-2×2×3×

1

3

=9
所以，c=3．              …（7分）
又由正弦定理得，

c

sinC

=

a

sinA

，
所以，sinA=

a•sinC

c

=

2× 2 2 3

3

=

4 2

9

．    …（9分）
因为a＜b，所以A为锐角，
所以，cosA=

1-sin2A

=

1-( 4 2 9 )2

=

7

9

．       …（11分）
所以，sin（C-A）=sinC•cosA-cosC•sinA=

2 2

3

×

7

9

-

1

3

×

4 2

9

=

10 2

27

． …（13分）

点评：本题考查三角形的解法，正弦定理与余弦定理同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．