Question

19．已知无穷等比数列{a_n}中，a₁=1，公比为q（q＞0），S_n是数列的前n项的和，记T_n=a₂+a₄+a₆+…+a_2n，求$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$的值．

Answer 1

分析 对q分类讨论，利用等比数列的前n项和公式可得S_n，T_n，再利用数列极限法则即可得出．

解答 解：当q=1时，S_n=n，T_n=n，∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{n}{n}$=1．
当q≠1时，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，T_n=$\frac{{a}_{1}q（1-{q}^{2n}）}{1-{q}^{2}}$，∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1+q}{q（1+{q}^{n}）}$．
当0＜q＜1时，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{1+q}{q}$．
当1＜q时，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=0．
综上可得：$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{1，q=1}\\{\frac{1+q}{q}，0＜q＜1}\\{0，q＞1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式、数列极限运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．