Question

19．（1）若$\overrightarrow{a}$=（-3，4），$\overrightarrow{b}$=（2，-1），且（$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），求x的值；
（2）向量$\overrightarrow{OA}$=（k，12），$\overrightarrow{OB}$=（4，5），$\overrightarrow{OC}$=（10，k），当k为何值时，A，B，C三点共线？

Answer 1

分析 （1）先求出$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，再是向量垂直的性质能求出x的值．
（2）分别求出$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$，再由A，B，C三点共线，能求出k的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（-3，4），$\overrightarrow{b}$=（2，-1），
∴$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow{b}$=（-3-2x，4+x），$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（-5，5），
∵（$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
∴$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=（-3-2x）×（-5）+（4+x）×5=0，
解得x=-$\frac{7}{3}$．
（2）∵$\overrightarrow{OA}$=（k，12），$\overrightarrow{OB}$=（4，5），$\overrightarrow{OC}$=（10，k），
∴$\overrightarrow{AB}$=（4-k，-7），$\overrightarrow{AC}$=（10-k，k-12），
∵A，B，C三点共线，∴$\frac{4-k}{10-k}=\frac{-7}{k-12}$，
解得k=-2或k=11．

点评 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直和向量平行的性质的合理运用．