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(选作题)定义在(-1,1)上的函数y=f(x)满足:对任意x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)

(1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;
(2)如果当x∈(-1,0)时,有f(x)>0,求证:f(x)在(-1,1)上是单调递减函数;
(3)在(2)的条件下解不等式:f(x+
1
2
)+f(
1
1-x
)>0
分析:(1)令x=y=0 可求得f(0)=0;令y=-x代入f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)
可判断f(x)的奇偶;
(2)设-1<x1<x2<1,利用f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(
x1-x2
1-x1x2
)
,分析判断出-1<
x1-x2
1-x1x2
<0,再结合条件即可证明结论;
(3)利用(1)f(x)为奇函数与(2)f(x)在(-1,1)上是单调递减函数将f(x+
1
2
)+f(
1
1-x
)>0
转化为f(x+
1
2
) >f(
1
x-1
)
,脱掉f,化为不等式组解之即可.
解答:解:(1)f(x)为奇函数.
  令x=y=0,代入f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)
有,
  2f(0)=f(0),f(0)=0;
  令y=-x,代入f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)
得:
  f(x)+f(-x)=f(0)=0,(xy≠-1,由定义域易知其满足)
∴f(x)=-f(-x),得证.
(2)设-1<x1<x2<1,
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(
x1-x2
1-x1x2
)

由题设知,必有-1<
x1-x2
1-x1x2
<1
又x1-x2<0,由x1,x2∈(-1,1),可得-x1•x2∈(-1,1),所以1-x1•x2>0,
所以-1<
x1-x2
1-x1x2
<0,又x∈(-1,0)时f(x)>0,
∴f(x1)-f(x2)=f(
x1-x2
1-x1x2
)
>0
∴f(x1)>f(x2
即f(x)在(-1,1)上是减函数;
(3)∵f(x+
1
2
)+f(
1
1-x
)>0
,f(x)为奇函数,
f(x+
1
2
) >f(
1
x-1
)
,函数y=f(x)定义在(-1,1)上,f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,
-1<x+
1
2
< 1
-1<
1
x-1
<1
x+
1
2
1
x-1
解得:-
3
2
<x<-1

∴不等式的解集为:{x|-
3
2
<x<-1
}.
点评:本题考查函数的性质,难点在于第(2)问函数单调性的证明中-1<
x1-x2
1-x1x2
<0的分析,级第(3)解不等式组,综合考查学生的分析,计算及正确推理的能力,是难题.
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