Question

设函数f（x）=x²+2bx+c，若f（x）=0有两个根x₁、x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]．
（1）求b，c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内画出满足这些条件的点（b，c）的区域；
（2）若令g（x）=bx²+2cx，其中x∈[1，2]，求证：．

Answer 1

解：（1）x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]．则有f（-1）≥0，f（0）≤0，f（1）≤0，f（2）≥0，故有：

如图中阴影部分，即是满足这些条件的点（b，c）的区域．
（II） 由（I）知，当（b，c）=（0，-1），即b=0时，
g（x）=bx²+2cx=-2x，再由x∈[1，2]，
可得-4≤g（x）≤-2．
当b≠0时，g（x）图象为开口向下的抛物线，
对称轴为 ，
所以g（x）在x∈[1，2]上单调递减，g（x）_min =g（2）=4b+4c，g（x）_max =g（1）=b+2c．
又由（1）利用线性规划的知识可得，-10≤4b+4c≤-2，，
∴．
分析：（1）由题意可得f（-1）≥0，f（0）≤0，f（1）≤0，f（2）≥0，列出线性约束条件，画出可行域，如图．
（II） b=0时，g（x）=-2x，由x∈[1，2]，可得-4≤g（x）≤-2．当b≠0时，g（x）图象为开口向下的抛物线，g（x）在x∈[1，2]上单调递减，g（x）_min =g（2）=4b+4c，g（x）_max =g（1）=b+2c．根据线性规划
的知识可得，-10≤4b+4c≤-2，，从而得到结论成立．
点评：本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，线性规划的知识的应用，体现了分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题．