Question

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右顶点，上顶点分别为M、N，过其左焦点F作直线l垂直于x轴，且与椭圆在第二象限交于点P，$\overrightarrow{MN}$=λ$\overrightarrow{OP}$
（1）求证：a=$\sqrt{b}$；
（2）若椭圆的弦AB过点E（2，0）并与坐标轴不垂直，设点A关于x轴的对称点A，直线A₁B与x轴交于点R（5，0），求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆方程得M、N的坐标，进一步求得$\overrightarrow{MN}=（-a，b）$，写出过椭圆左焦点F作直线l的方程：x=-c，联立直线方程和椭圆方程，求得P的坐标，再求出$\overrightarrow{OP}$的坐标由$\overrightarrow{MN}$=λ$\overrightarrow{OP}$可得b=c，结合a²=b²+c²得答案；
（2）设椭圆方程为x²+2y²=2b²，设直线AB：y=k（x-2），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出A，B横坐标的和与积，求出A₁（x₁，-y₁），结合A₁、B、R共线得$\overrightarrow{{A}_{1}R}∥\overrightarrow{BR}$，再结合根与系数关系求得b²=5．则椭圆方程可求．

解答 （1）证明：由椭圆方程C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）得M、N的坐标为M（a，0），N（0，b），
则$\overrightarrow{MN}=（-a，b）$，
又过椭圆左焦点F作直线l垂直x轴，设直线l方程：x=-c，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=-c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得P（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），∴$\overrightarrow{OP}$=（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
由$\overrightarrow{MN}$=λ$\overrightarrow{OP}$，得$-a×\frac{{b}^{2}}{a}-b×（-c）=0$，化简得b=c，
由a²=b²+c²，得a=$\sqrt{b}$；
（2）解：由（1），椭圆方程可设为x²+2y²=2b²，
∵弦AB经过点E（2，0），并与坐标轴不垂直，
∴设直线AB：y=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2{b}^{2}}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2b²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}-2{b}^{2}}{1+2{k}^{2}}$． ①
点A关于x轴的对称点为A₁，∴A₁（x₁，-y₁），
由A₁、B、R共线得$\overrightarrow{{A}_{1}R}∥\overrightarrow{BR}$，又$\overrightarrow{{A}_{1}R}=（5-{x}_{1}，{y}_{1}），\overrightarrow{BR}=（5-{x}_{2}，-{y}_{2}）$，
∴（5-x₁）（-y₂）-y₁（5-x₂）=0，
化简得2x₁x₂+20=7（x₁+x₂）．②
将①式代入②中得$2•\frac{8{k}^{2}-2{b}^{2}}{1+2{k}^{2}}+20=7•\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
解得b²=5．
椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆方程的求法，训练了直线和圆锥曲线位置关系的应用，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常联立直线方程和圆锥曲线方程，利用一元二次方程的根与系数关系解题，该题（2）采用向量求解简化了运算量，该题是压轴题．