Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=

1

2

AA₁，D是棱AA₁的中点．
（Ⅰ）证明：C₁D⊥平面BDC；
（Ⅱ）求二面角C-BC₁-D的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）先由线面垂直的判定定理，得到BC⊥平面ACC₁A₁又DC₁?平面ACC₁A₁，所以DC₁⊥BC，再证得DC₁⊥DC．
再由线面垂直的判定即可得证；
（Ⅱ）分别以

CA

，

CB

，

CC1

为x，y，z轴建立直角坐标系，设AA₁=2，显然平面CBC₁的法向量为

n

=（1，0，0），设平面BC₁D的法向量为

m

=（x₀，y₀，z₀），由

m

•

BC1

=0，

m

•

C1D

=0，得到

m

=（1，2，1），再由向量的夹角公式，即可得到二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：由题意知BC⊥CC₁，BC⊥AC，CC₁∩AC=C，
所以BC⊥平面ACC₁A₁
又DC₁?平面ACC₁A₁，所以DC₁⊥BC，
由题设知∠A₁DC₁=∠ADC=45°，
所以∠CDC₁=90°，即DC₁⊥DC．
又DC∩BC=C，所以DC₁⊥平面BDC；
（Ⅱ）解：如图，分别以

CA

，

CB

，

CC1

为x，y，z轴建立直角坐标系，
设AA₁=2，显然平面CBC₁的法向量为

n

=（1，0，0），
设平面BC₁D的法向量为

m

=（x₀，y₀，z₀）
由于

BC1

=（0，0，2）-（0，1，0）=（0，1，0），

C1D

=（0，0，2）-（1，0，1）=（-1，0，1），
则由

m

•

BC1

=0，

m

•

C1D

=0
得-y₀+2z₀=0，-x₀+z₀=0，即

m

=（1，2，1），
由cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

6

，
故二面角C-BC₁-D的余弦值为

6

6

．

点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查空间的二面角的求法，考查推理能力和空间向量法，及运算能力，属于中档题．