Question

1．函数f（x）=$\frac{1}{2}$（cosx-sinx）（cosx+sinx）-2asinx+b（a＞0）．
（1）若b=1，且对任意x∈（0，$\frac{π}{6}$），恒有f（x）＞0，求a的取值范围．
（2）若f（x）的最大值为1，最小值为-4，求实数a，b的值．

Answer 1

分析 （1）化简f（x）可得-sin²x-2asinx+$\frac{3}{2}$，令t=sinx（0＜t＜$\frac{1}{2}$），由题意可得-t²-2at+$\frac{3}{2}$＞0，即-2a＞t-$\frac{3}{2t}$，运用单调性求得右边函数的范围，即可得到a的范围；
（2）化简f（x）可得=-sin²x-2asinx+$\frac{1}{2}$+b，令t=sinx（-1≤t≤1），即有y=-t²-2at+$\frac{1}{2}$+b，对称轴为t=-a＜0，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性求得最值，解方程可得a，b的值．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$（cosx-sinx）（cosx+sinx）-2asinx+b
=$\frac{1}{2}$（cos²x-sin²x）-2asinx+1=-sin²x-2asinx+$\frac{3}{2}$，
令t=sinx（0＜t＜$\frac{1}{2}$），对任意x∈（0，$\frac{π}{6}$），恒有f（x）＞0，
即为-t²-2at+$\frac{3}{2}$＞0，即-2a＞t-$\frac{3}{2t}$，
由t-$\frac{3}{2t}$在（0，$\frac{1}{2}$）递增，可得t-$\frac{3}{2t}$＜$\frac{1}{2}$-3=-$\frac{5}{2}$，
可得-2a≥-$\frac{5}{2}$，解得0＜a≤$\frac{5}{4}$；
（2）f（x）=$\frac{1}{2}$（cosx-sinx）（cosx+sinx）-2asinx+b
=$\frac{1}{2}$（cos²x-sin²x）-2asinx+b=-sin²x-2asinx+$\frac{1}{2}$+b，
令t=sinx（-1≤t≤1），即有y=-t²-2at+$\frac{1}{2}$+b，
对称轴为t=-a＜0，
当-a≤-1即a≥1时，[-1，1]为减区间，则t=-1取得最大值1，
t=1时，取得最小值-4，即有-1+2a+b+$\frac{1}{2}$=1，-1-2a+b+$\frac{1}{2}$=-4，
解得a=$\frac{5}{4}$，b=-1；
当-1＜-a＜1即为0＜a＜1，t=-a取得最大值1，即为$\frac{1}{2}$+b+a²=1，
t=1时，取得最小值-4，即为-1-2a+b+$\frac{1}{2}$=-4，
解方程可得a=$\sqrt{5}$-1，b=2$\sqrt{5}$-$\frac{11}{2}$，显然$\sqrt{5}$-1＞1不成立．
综上可得a=$\frac{5}{4}$，b=-1．

点评 本题考查三角函数的化简和求值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和函数的单调性，考查函数的最值的求法，注意运用换元法和分类讨论的思想方法，属于中档题．