Question

已知f（x）是实数集R上的函数，且对任意x∈R，f（x）=f（x+1）+f（x-1）恒成立．
（Ⅰ）求证：f（x）是周期函数．
（Ⅱ）已知f（-4）=2，求f（2012）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将f（x）=f（x+1）+f（x-1）移向得出，f（x+1）=f（x）-f（x-1），以x+1代x得出f（x+2）=-f（x-1），再以x+1代x，得出f（x+3）=-f（x），以x+3代x后得出f（x+6）=f（x），所以f（x）是周期函数，且6是它的一个周期．
（Ⅱ）f（2012）=f（335×6+2）=f（2）=f[6+（-4）]=f（-4）=2．

解答：（Ⅰ）证明：∵f（x）=f（x+1）+f（x-1），∴f（x+1）=f（x）-f（x-1），
则f（x+2）=f[（x+1）+1]=f（x+1）-f（x）=f（x）-f（x-1）-f（x）=-f（x-1），
所以f（x+3）=f[（x+1）+2]=-f[（x+1）-1]=-f（x），
f（x+6）=f[（x+3）+3]=-f（x+3）=f（x），所以f（x）是周期函数，且6是它的一个周期．
（Ⅱ）解：f（2012）=f（335×6+2）=f（2）=f[6+（-4）]=f（-4）=2．

点评：本题考查抽象函数的性质研究，函数值求解，对于抽象函数中字母灵活代换，构造关系式，是常用的研究方法．