Question

19．在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为$\frac{1}{90}{x^2}$升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟$\frac{1}{2}x$米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升．
（1）将y表示为x的函数；
（1）若x∈[4，8]，求总用氧量y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过速度、时间与路程之间的关系可知下潜所需时间为$\frac{30}{x}$分钟、返回所需时间为$\frac{60}{x}$分钟，进而列式可得结论；
（2）通过基本不等式可知及x∈[4，8]可知$y=\frac{x}{3}+\frac{12}{x}+3$在[4，6]上单调递减、在[6，8]上单调递增，比较当x=4、8时的取值情况即得结论．

解答 解：（1）依题意，下潜所需时间为$\frac{30}{x}$分钟；返回所需时间为$\frac{60}{x}$分钟，
∴$y=\frac{1}{90}{x^2}•\frac{30}{x}+10×0.3+\frac{60}{x}•0.2$，
整理得：$y=\frac{x}{3}+\frac{12}{x}+3$（x＞0）；
（2）由基本不等式可知$\frac{x}{3}+\frac{12}{x}≥2\sqrt{\frac{x}{3}•\frac{12}{x}}=4$，当且仅当$\frac{x}{3}=\frac{12}{x}$即x=6时取等号，
因为x∈[4，8]，
所以$y=\frac{x}{3}+\frac{12}{x}+3$在[4，6]上单调递减、在[6，8]上单调递增，
所以当x=6时，y取最小值7，
又因为当x=4时$y=7\frac{1}{3}$；当x=8时$y=7\frac{1}{6}$，
所以y的取值范围是：$[7，7\frac{1}{3}]$．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．