Question

在计算机的算法语言中有一种函数[x]叫做高斯函数，它表示数x的整数部分（即小于等于x的最大整数，如[3.15]=3，[0.7]=0，[-2.6]=-3）设函数f(x)=

ax

1+ax

(a＞0，且a≠1)，则函数y=[f(x)-

1

2

]+[f(-x)-

1

2

]的值域为（　　）

• A、{-1，0}
• B、{0}
• C、{-1}
• D、{-1，0，1}

Answer 1

分析：本填空题利用特殊值法解决，取a=2，由题意知，f(x)-

1

2

=

2x

1+2x

-

1

2

是定义域R上的奇函数，且值域是（-

1

2

，

1

2

）；
∴f（-x）的值域也是（-

1

2

，

1

2

）；分x=0，x＞0，x＜0时讨论函数y的值即可．

解答：解：由题意，g（x）=f（x）-

1

2

=

2x

1+2x

-

1

2

=1-

1

1+2x

-

1

2

=

1

2

-

1

1+2x

；f（-x）=

2-x

1+2-x

-

1

2

=

1

1+2x

-

1

2

；
∴g（-x）=-g（x），即g（x）是奇函数．
又∵2^x＞0，∴1+2^x＞1，∴0 ＜

1

1+2x

＜ 1，∴-

1

2

＜

1

1+2x

-

1

2

＜

1

2

；
即 -

1

2

＜g（-x）＜

1

2

．所以，-

1

2

＜g（x）＜

1

2

．
当x=0时，g（x）=g（-x）=0，y=[g（x）]+[g（-x）]=0；
当x≠0时，若x＞0，则0＜g（x）＜

1

2

，-

1

2

＜g（-x）＜0，
∴y=[g（x）]+[g（-x）]=0+（-1）=-1，
若x＜0，则y=[g（x）]+[g（-x）]=（-1）+0=-1．
所以函数y的值域为{0，-1}．
故选A．

点评：本题用求值域来考查指数函数的性质，函数的奇偶性，函数取整问题，应该是有难度的小题．