Question

（2012•宝鸡模拟）平面内点P与两定点A₁（-a，0），A₂（A，0）（其中a＞0）连线的斜率之积非零常数m，已知点P轨迹C的离心率是

2

2

．
（1）求m的值；
（2）求椭圆C的右焦点且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点．若O为坐标原点，M为椭圆C上一点，满足

OM

=λ

OA

+

OB

，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）由题意，设动点P的坐标为（x，y），当x≠±a时，由题设条件得mx²-y²=ma（x≠±a），由A₁（-a，0），A₂（a，0）的坐标满足mx²-y²=ma²，知椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

-ma2

=1（x≠±a）．由此能求出m的值．
（2）由椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

1 2 a2

=1，知椭圆C的右焦点为F2(

2

2

a，0)，过F₂斜率为1的直线方程为y=x-

2

2

a．联立

x2+2y2=a2 y=x- 2 2 a

，解得

x1=0 y1=- 2 2 a

，或

x2= 2 2 3 a y2= 2 6 a

．由此能求出λ的值．

解答：解：（1）由题意，设动点P的坐标为（x，y），
当x≠±a时，由题设条件得kMA1•kMA2=

y

x-a

•

y

x+a

=

y2

x2-a2

-m，
即mx²-y²=ma（x≠±a），
∵A₁（-a，0），A₂（a，0）的坐标满足mx²-y²=ma²，
∴椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

-ma2

=1（x≠±a）．
设椭圆C的半焦距为c（c＞0），
当焦点在x轴上时，有c=

a2-(-ma 2)

=a

1+m

，
∴

a 1+m

a

=

2

2

．解得m=-

1

2

．
当焦点在y轴上时，有c=

-ma2-a2

=a

-1-m

，
∴

a -1-m

a

=

2

2

，解得m=-

3

2

．
（2）由（1）得，椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

1 2 a2

=1，c=

2

2

a，
∴椭圆C的右焦点为F2(

2

2

a，0)，过F₂斜率为1的直线方程为y=x-

2

2

a．
联立

x2+2y2=a2 y=x- 2 2 a

，解得

x1=0 y1=- 2 2 a

，或

x2= 2 2 3 a y2= 2 6 a

．
设M点的坐标为（x₀，y₀），
①若点A的坐标为（0，-

2

2

a），点B的坐标为（

2 2

3

a，

2

6

a），
∴

x0= 2 2 3 a y0=- 2 2 λa+ 2 6 a

，
∵M为椭圆上一点，∴(

2 2

3

a)2+2(-

2

2

λa+

2

6

a)2=a²，
解得λ=0或λ=

2

3

．
②若点A的坐标为(

2 2

3

a，

2

6

a)，点B的坐标为(0，-

2

2

a)，
∴

x0= 2 2 3 λa y0= 2 6 aλ- 2 2 a

，
∵M为椭圆C上一点，
∴(

2 2

3

λ a)2+2(

2

6

aλ-

2

2

a)2=a2，
解得λ=0或λ=

2

3

，
综上所述，λ的值为0或

2

3

．

点评：本题考查直线和椭圆的位置关系的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．