Question

某少数民族的刺绣有着悠久的历史，右图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．
（1）求出f（5）；
（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式；
（3）求

1

f(1)

+

1

f(2)-1

+

1

f(3)-1

+…+

1

f(n)-1

的值．

Answer 1

分析：（1）先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…，即可求出f（5）；
（2）总结一般性的规律，可知f（n+1）-f（n）=4n，利用叠加法，可求f（n）的表达式；
（3）根据通项特点，利用裂项法求和，即可得到解决．

解答：解：（1）∵f（1）=1，f（2）=1+4=5，f（3）=1+4+8=13，f（4）=1+4+8+12=25，
∴f（5）=1+4+8+12+16=41．
（2）∵f（2）-f（1）=4=4×1，
f（3）-f（2）=8=4×2，
f（4）-f（3）=12=4×3，
f（5）-f（4）=16=4×4，
由上式规律得出f（n+1）-f（n）=4n．
∴f（n）-f（n-1）=4（n-1），
f（n-1）-f（n-2）=4•（n-2），
f（n-2）-f（n-3）=4•（n-3），
…
f（2）-f（1）=4×1，
∴f（n）-f（1）=4[（n-1）+（n-2）+…+2+1]
=2（n-1）•n，
∴f（n）=2n²-2n+1．
（3）当n≥2时，

1

f(n)-1

=

1

2n2-2n+1-1

=

1

2

（

1

n-1

-

1

n

），
∴

1

f(1)

+

1

f(2)-1

+

1

f(3)-1

+…+

1

f(n)-1

=1+

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）=1+

1

2

（1-

1

n

）=

3

2

-

1

2n

．

点评：本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，（3）问考查了裂项法求数列的和，属于中档题．