Question

7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？
（1）7人站成一排，要求较高的3个学生站在一起；
（2）7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；
（3）任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．

Answer 1

分析：（1）将较高的3个学生捆成一个元素，按“先捆绑，再松绑”的方法即可求得答案；
（2）最高的站在中间，从剩余的6名学生中选3名在左边，剩余的3人在右边即可求得答案；
（3）按先取后排（先排第一列，再排第二列，最后排第三列）即可．

解答：解：（1）将较高的3个学生捆成一个元素，与另4个学生构成5个学生自由排列有

A

5 5

种方法，捆成一个元素的三学生内部可自由排列，有

A

3 3

种方法，
∴共有

A

5 5

•

A

3 3

=720种；
（2）∵最高的站在中间，
∴从剩余的6名学生中选3名在左边，剩余的3人在右边，共有

C

3 6

•

C

3 3

=20种；      
（3）从7名身高互不相等的学生中选出6人有

C

6 7

种方法，再从6人中任选2人排在第一列（前矮后高），有

C

2 6

种方法，再从剩余的4人中选2人排在第二列（前矮后高），有

C

2 4

种方法，最后剩余的两人排在第三列（前矮后高），有一种方法，由分步乘法计数原理可得共有

C

6 7

C

2 6

C

2 4

=630种方法．

点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，突出考查分步乘法计数原理的应用，考查理解与应用能力，属于中档题．