Question

已知函数f(x)=2

3

sinωxcosωx+1-2sin2ωx(ω＞0)，且函数f（x）的最小正周期为π．
（1）若x∈(-

π

6

，π]，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

1

2

，把所得到的图象再向左平移

π

6

个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，

π

8

]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的降次公式进行化简，得f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期的公式，计算出ω的值，得到函数的表达式，最后根据函数函数y=Asin（ωx+φ）的单调区间的结论，可以求得函数f（x）的单调递减区间；
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的规律，得到变换后函数y=g（x）的解析式是：g（x）=2sin（4x+

5π

6

），然后根据函数y=Asin（ωx+φ）的单调性的结论，可得函数g（x）在区间[0，

π

8

]上的值域，从而得到y=g（x）在区间[0，

π

8

]上的最小值．

解答：解：（1）∵f(x)=2

3

sinωxcosωx+1-2sin2ωx(ω＞0)
∴利用三角函数的降次公式，得f（x）=

3

sin（2ωx）+cos（2ωx）=2sin（2ωx+

π

6

）
∵函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2ω

=π
∴2ω=2，可得函数f（x）的解析式为：y=2sin（2x+

π

6

）
令

π

2

+2kπ＜2x+

π

6

＜

3π

2

+2kπ，得

π

6

+kπ＜x＜

2π

3

+kπ，其中k是整数，
∵x∈(-

π

6

，π]，
∴取k=0，得x∈(

π

6

，

2π

3

)
所以函数f（x）的单调递减区间是(

π

6

，

2π

3

)；
（2）函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

1

2

，
所得函数解析式为：y=2sin（4x+

π

6

）
再把所得到的图象再向左平移

π

6

个单位，得到函数y=g（x）的图象，
∴g（x）=2sin[4（x+

π

6

）+

π

6

]=2sin（4x+

5π

6

）
∵函数y=g（x）定义在区间[0，

π

8

]上，
∴4x+

5π

6

∈[

5π

6

，

4π

3

]⇒sin

4π

3

≤sin（4x+

5π

6

）≤sin

5π

6

即-

3

2

≤sin（4x+

5π

6

）≤

1

2

∴函数y=g（x）的值域为[-

3

，1]，函数的最小值为-

3

．

点评：本题以一个特殊的三角函数为例加以研究，着重考查了三角函数中的恒等变换、函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质和三角函数的最值等知识点，属于中档题．