分析 (Ⅰ)根据不等式的解集,进行求解即可求k的值;
(Ⅱ)利用柯西不等式进行证明即可.
解答 解:(Ⅰ)因为f(x)=k-|x-3|,所以f(x+3)≥0等价于|x|≤k
由|x|≤k有解,得k≥0,且其解集为{x|-k≤x≤k}
又f(x+3)≥0的解集为[-1,1],故k=1…(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=1$
又a,b,c是正实数,
由均值不等式得:a+2b+3c=(a+2b+3c)($\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$)=3+$\frac{a}{2b}$+$\frac{a}{3c}$+$\frac{2b}{a}$+$\frac{2b}{3c}$+$\frac{3c}{a}$+$\frac{3c}{2b}$
=3+($\frac{a}{2b}$+$\frac{2b}{a}$)+($\frac{2b}{3c}$+$\frac{3c}{2b}$)+($\frac{3c}{a}$+$\frac{a}{3c}$)≥3+2+2+2=9
当且仅当a=2b=3c时取等号…(10分)
点评 本题主要考查绝对值不等式的解法,以及不等式的证明,利用柯西不等式是解决本题的关键.
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