Question

5．已知函数f（x）=k-|x-3|，k∈R且f（x+3）≥0的解集为[-1，1]
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若a，b，c是正实数，且$\frac{1}{ka}$+$\frac{1}{2kb}$+$\frac{1}{3kc}$=1，证明：a+2b+3c≥9．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据不等式的解集，进行求解即可求k的值；
（Ⅱ）利用柯西不等式进行证明即可．

解答 解：（Ⅰ）因为f（x）=k-|x-3|，所以f（x+3）≥0等价于|x|≤k
由|x|≤k有解，得k≥0，且其解集为{x|-k≤x≤k}
又f（x+3）≥0的解集为[-1，1]，故k=1…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=1$
又a，b，c是正实数，
由均值不等式得：a+2b+3c=（a+2b+3c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$）=3+$\frac{a}{2b}$+$\frac{a}{3c}$+$\frac{2b}{a}$+$\frac{2b}{3c}$+$\frac{3c}{a}$+$\frac{3c}{2b}$
=3+（$\frac{a}{2b}$+$\frac{2b}{a}$）+（$\frac{2b}{3c}$+$\frac{3c}{2b}$）+（$\frac{3c}{a}$+$\frac{a}{3c}$）≥3+2+2+2=9
当且仅当a=2b=3c时取等号…（10分）

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式的证明，利用柯西不等式是解决本题的关键．