Question

【题目】过椭圆 =1的右焦点F作斜率k=﹣1的直线交椭圆于A，B两点，且 共线．
（1）求椭圆的离心率；
（2）当三角形AOB的面积S△AOB= 时，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：设AB：y=﹣x+c，直线AB交椭圆于两点，A（x1，y1），B（x2，y2），

，b2x2+a2（﹣x+c）2=a2b2，

（b2+a2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2=0，

， ， =（x1+x2，y1+y2），与 = 共线，

可得3（y1+y2）﹣（x1+x2）=0，3（﹣x1+c﹣x2+c）﹣（x1+x2）=0

（2）解：由a2=3b2，可设椭圆的方程为： ，c2=3b2﹣b2=2b2， ，

AB：y=﹣x+ b， ，可得： ，

即 ，

∴ ， ，

AB的距离为：|AB|= = = ，

O到AB距离 ．

，

椭圆方程为

【解析】（1）设AB：y=﹣x+c，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理，通过 共线，即可求解椭圆的离心率．（2）利用第一问的结果a2=3b2，设椭圆的方程为： ，AB：y=﹣x+ b，联立方程组，通过韦达定理求解|AB|，O到AB距离，通过三角形的面积，即可求解椭圆方程．